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Le théorème de Fermat

Wilfrid Noël Raby
«La terre nous en apprend plus long sur nous que tous les livres. Parce qu'elle nous résiste.» écrivait Saint-Exupéry. Il en fut de même pour les mathématiciens qui tâtèrent du théorème de Fermat. Il peut en être de même pour nous.

L'an dernier, quand le mathématicien Andrew Wiles termina ses trois conférences sur «Les représentations Padic-Galois, la théorie d'Iwasawa, et la conjecture Taniyama-Weil», il tomba sur la salle de mathématiciens réunis un silence gélatineux. Puis surgit un tonnerre d'applaudissement. L'humble professeur Wiles venait de calmement prouver «soit dit en passant» le théorème de Fermat, un problème mathématique datant de 1637, célèbre pour sa simplicité et pour être demeuré sans preuve jusqu'à... maintenant. L'événement ressemblait un peu à un colloque de théologiens écoutant une conférence intitulée :«L'apport de la Théorie du Big Bang à la compréhension de la Genèse», où à la toute fin, le conférencier italien laisserait tomber : «Oh, j'allais oublier de vous dire que j'ai trouvé le fossile du trognon de la pomme d'Adam. Le voici»...

L'événement fut marquant tant pour la preuve que pour la manière qu'elle fut présentée, sans fanfare ni contrat de millions. L'auditoire averti s'attendait à tout le moins a surgir de la conférence du profes-seur Wiles un peu plus instruit. Il en surgit stupéfait. Si sa preuve du théorème n'est pas contesté par la dizaine de mathématiciens du monde entier capables de la com-prendre, on glorifiera son génie. Mais on ferait bien d'aussi célébrer son courage. Comment qualifier autrement quelqu'un qui travaille seul dans sa chambre pendant sept ans pour résoudre un problème qui fait figure d'entorse dans l'histoire des mathématiques? Car les risques sont grands. Je me souviens de pro-fesseurs de CEGEP et d'université qui, ayant tenté de se plonger dans l'étude de la philosophie de Hegel - ce philosophe allemand des plus impénétrables - s'y sont noyés. On ne les revit plus. Il est des trous noirs intellectuels, et le théorème de Fermat compte parmi ceux-là, qu'il vaut mieux contempler sans trop penser.

Le théorème est tout simple. Se présentant comme xn + yn = zn, il stipule que tout carré peut être réduit à la somme de deux autres carrés, comme 32 + 42 = 52, mais qu'il n'existe aucune solution pour toute valeur de n supérieure à deux. En 1637, Fermat avait rédigé dans la marge d'un de ses cahiers de tra-vail: «Je crois détenir lit preuve de ce postulat, mais la marge de cette
page est trop étroite pour la rédiger ici». Éventuellement, Fermat trouva une marge suffisamment grande pour développer une preuve complète niant toute solution pour n=4. Toutefois, une solution générale pour n=n prit tout le monde de court, d'une façon si vexante que l'Académie française proposa en 1815 un prix de 300 francs et une médaille en or. Les Allemands peu disposés à l'époque à se laisser damer le gruyère par un camembert, surenchérirent avec le prix Wolfs-kehl d'une valeur de 7 000 marks. Depuis, tous les mathématiciens, tout comme les charlatans et les génies en herbe, ont tenté de résoudre l'énigme. Le théorème tient du folklore autant que du palmarès. Jugez-en par ce graffiti que j'ai lu dans le métro de New-York: «J'ai une preuve vraiment splendide du théorème de Fermat à vous montrer, mais je ne peux la rédiger maintenant parce que mon train arrive».

Pour le professeur Martin Kneser de l'académie de Gottingen l'administrateur actuel du prix Wolfskeh , la résolution du théorème apparut comme un drapeau blanc dans la mitraille. Jusqu'à présent, ce pauvre homme recevait de tous les coins de la planète «les tomes, les volumes et les papiers brouillons du tous les illuminés de la Planètes», faisant la preuve que faute de génie, l'on peut toujours arriver à un résultat si on a en main suffisamment de papier. Chaque année l'Académie disposait de quelque dix mètres de manuscrits en les divisant en deux piles; ceux qui ressemblaient à n'importe quoi et que l'on retournait aussitôt, et ceux qui ressemblaient aux mathématiques. Selon une tradition académique, ceux-ci étaient distribuer à des étudiants diplômés, forcés par la pauvreté et l'appât du gain à reviser ces documents à la recherche des inévitables erreurs. Les manuscrits erronés, se méritaient comme consolation une lettre enluminée rédigée selon le mot de Fermat: «Nous aurions à vous offrir une réfutation fort élégante de votre preuve, malheureusement cette page n'est pas suffisamment grande pour la contenir...»

Le calcul du vrai

Vous me direz que dans l'ordre des choses terrestres, la résolution d'un problème mathématique qu'à peu près tout le monde ignore, ne doit pas signifier grand chose. Après tout, nous faisons face comme toujours à ces vieilles violences que sont la pauvreté, la guerre, l'oubli, et le laisser-faire. Pourtant nous devrions parler de cette broutille des mathématiques: premièrement, parce que c'est reposant de parler d'autre chose de temps à autre, et deuxièmement parce que son histoire en dit long sur la nôtre. Cette équation en nous résistant comme la terre dont nous parle Saint-Exupéry, nous a si bien mis à nu qu'elle vaut bien une demi-chronique.

Pour résoudre le théorème fameux, Wiles eut recours à tous les outils de la géométrie algébrique et arithmétique mis au point au cours des quinze dernières années, et ce en grande partie pour trancher le noeud Fermatien. Bref, le génie de Wiles est en quelque sorte collectif: en applaudissant Wiles, les mathématiens célébraient leur propre acharnement à trouver une solution. En cours de route ils créèrent de nouvelles équations utiles à l'étude des courbes elliptiques, qui ne manqueront sûrement pas de trouver un usage pour la mise en orbite de satellites, ou pour l'étude de quelque planète à l'orbite un peu ivre. Les trois cent cinquante ans depuis la première rédaction du théorème jusqu'à sa résolution nous parviennent donc comme l'aboutissement d'un long dialogue qu'a tenu l'humanité avec elle-même. Par le biais des mathématiques nous est livrée une continuité de pensée, une aventure humaine toute faite d'effort et de sueur versée de plaisir et de rage qui nous est propre. L'intelligence humaine dans toute sa rigueur!

Toutefois à mes yeux, le plus beau de l'affaire réside dans sa vérité absolue et universelle, vrai maintenant, vrai demain, vrai ici, vrai ailleurs. Du vrai pure laine, propre comme une lessive, chaud et nourrissant comme de la mie. Et l'effort de quiconque voudrait tenter d'atteindre la haute voltige du vrai récompensera l'esprit, en lui faisant toucher à l'éternité qui s'allonge à travers nos vies qui fuient. Vous verrez, on ne dessaoûle jamais tout a fait d'avoir goûté à l'éternel.

Nous croyons connaître une ou deux choses vraies, par exemple que nous sommes fait d'atomes, que la lumière blanche est le fondu d'un ruban aux couleurs allant du bleu au rouge. Nous savons maintenant qu'aucun cube d'un nombre ne peut égaler la somme du cube de deux nombres plus petits. Et alors? Ce sont des moments comme celui-là qui me font penser qu'il doit bien exister une certaine harmonie entre la façon dont notre cerveau réfléchit, et la façon dont l'univers - y compris notre cerveau - est construit. Après tout, ils sont constitués de la même matière, et c'est peut-être la qu'est enfouie la clé qui nous permet d'en comprendre quelques miettes. Si cette harmonie est vraie, alors tout s'équivaut hiver comme été: planter des choux, collectionner les cartes de base-ball ou les papillons, jouer au golf ou au nintendo. Tous offrent une porte sur le vrai, et les clés en sont aussi individuelles et multiples que les rides de nos mains. Un jour, quand nous serons tous assis au balcon de quelque paradis arrêté perpétuellement en juillet, personne n'aura à craindre. Dieu pardonnera l'apparente oisiveté des jardiniers, des collectionneurs de timbres, des tricoteuses, des origamistes, des buveurs de thé. Il ne pourra pas faire autrement, puisqu'il pardonne les broutilles des mathématiciens.

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